Ondes non linéaires, Ondes gravito-capillaires, Solitons, Unidimensionnel, Périodicité, Intégrabilité, Transformée de diffusion directe

Les ondes de surface hydrodynamiques peuvent présenter sous certaines conditions des propriétés dispersives ainsi que des phénomènes non linéaires pour des amplitudes suffisamment élevées. Ces propriétés peuvent dépendre de la géométrie dans laquelle ces ondes se propagent. Dans cette thèse, nous étudions comment la dispersion et la non-linéarité des ondes de surface sont affectées par une géométrie toroïdale. Pour cela, nous proposons une nouvelle technique pour la création d'un tore de fluide stable et stationnaire à la périphérie duquel ondes se propagent. Dans le régime linéaire, ces ondes azimutales sont obtenues par une mesure spatio-temporelle et une relation de dispersion riche à plusieurs branches est observée, pour la première fois sur un tore de liquide, comme par exemple la présence de modes gravito-capillaires, de ballottement et du centre de masse. Nous les décrivons à l'aide d'un modèle simple incluant les effets de la courbure. En augmentant l'amplitude du forçage monochromatique, nous démontrons qu'en raison de la non-linéarité, une instabilité a lieu et donne naissance à deux ondes filles. Cette instabilité est due à une instabilité résonante triadique, c'est-à-dire à une interaction résonante à trois ondes. Nous montrons que cette interaction se produit entre deux branches différentes de la relation de dispersion, un mécanisme original qui n'avait pas été observé jusqu'à présent. Pour approfondir l'étude des effets non linéaires, en appliquant un forçage par impulsion sur le tore, nous observons la propagation de solitons le long de son bord extérieur. Nous montrons qu'en raison de la périodicité du tore, de nouveaux types de solitons peuvent être observés, notamment des solitons élévations subsoniques, qui sont modélisés à l'aide de l'équation périodique de Korteweg-de Vries. Au-delà du tore, nous nous sommes également tournés vers des systèmes mécaniques non linéaires, afin d'étudier les solitons et la dynamique non linéaire. Le premier d'entre eux est une chaîne de pendules couplées périodiques, régie par l'équation de Sine-Gordon. Nous présentons une nouvelle technique numérique pour déterminer le spectre des solitons sur la ligne périodique de cette équation. Enfin, en passant à un système discret, nous avons étudié expérimentalement et analytiquement la dynamique non linéaire d'une corde suspendue avec une masse pivotante à son extrémité, montrant comment des conditions aux limites non triviales peuvent affecter de manière significative la fréquence de résonance du système.