Théorie des noeuds, Homologies de Khovanov-Rozansky, Catégorification, Homologie gl_1 symétrique, Homologie de Bar-Natan, Distance gordienne, Enchevêtrements rationnels

Cette thèse se concentre sur deux voies complémentaires dans le domaine des théories homologiques d'entrelacs. La première vise à étudier la structure des homologies d'entrelacs nouvelles et existantes, dans le but final de comprendre leurs relations mutuelles et leur contenu topologique. La seconde vise à extraire de ces théories des invariants numériques, qui soient à la fois calculables et riches en informations topologiques. Les homologies gl_N symétriques introduites par Robert-Wagner, contrairement aux homologies extérieures, sont déjà non triviales lorsque N=1. Dans ce cas, de plus, leur construction admet une description particulièrement simple. Dans la première partie de cette thèse, nous étudions une version sans mousse de l'homologie gl_1 symétrique. Notre premier objectif est de donner une description simple de cette homologie, ainsi que des relations qui s'appliquent dans ce cadre. Nous trouvons une base pour les espaces d'état et l'utilisons pour construire un algorithme et un programme calculant l'homologie gl1 symétrique dans le cas non équivariant et non colorié. Des calculs sur de petits nœuds montrent que cette homologie n'est pas un invariant d'entrelacs lorsqu'on travaille sur Z. De plus, nous conjecturons que le rang total de l'homologie gl_1 symétrique est égal à celui de l'homologie HOMFLYPT. La deuxième partie de la thèse s'articule autour d'une variation universelle de l'homologie de Khovanov. Nous en extrayons trois nouveaux invariants de nœuds λ¿, λ et Λ. Les invariants λ et λ¿ sont des raffinements d'un invariant d'Iltgen-Lewark-Marino. Ils prennent des valeurs dans Z¿0 et sont des bornes inférieures pour la distance Gordienne entre deux nœuds. Nous montrons que λ¿ est plus efficace que l'invariant de Rasmussen en tant que borne inférieure pour le nombre de dénouage, et que, contrairement à λ¿, λ donne également une borne inférieure pour une autre quantité, la distance Gordienne rationnelle propre. De plus, nous fournissons quelques applications de λ et λ¿ aux nœuds toriques. Les invariants λ et λ¿ peuvent tous deux être extraits d'un troisième invariant Λ, qui associe à une paire de nœuds un sous-ensemble de Z^2. De façon similaire à l'invariant de Rasmussen, Λ peut distinguer entre les changements de croisements négatif à positif et positif à négatif. La deuxième partie de la thèse est basée sur un travail conjoint avec L. Lewark et C. Zibrowius.