Fonctions multiplicatives aléatoires, Loi du logarithme itéré, Valeurs moyennes des fonctions multiplicatives, Fonctions de Rademacher, Fonctions de Steinhaus, Inégalité de Doob, Inégalité de Hoeffding, Martingales, Caractères de Dirichlet

Soit f une fonction multiplicative aléatoire de Steinhaus ou Rademacher. Nous démontrons presque sûrement, lorsque x ¿ +¿, la majoration Xn¿x f(n) ¿¿x(log log x) 3 4+ε, pour ε > 0 fixé. Grâce à la borne inférieure obtenue par Harper \cite{Harper3}, cela fournit une borne supérieure précise de la plus grande fluctuation de la quantité $\sum_{n \leqslant x} f(n)$. Dans un cadre plus probabiliste, nous prouvons également une borne supérieure optimale presque sûre dans un contexte pouvant être considéré comme l'analogue dans le corps des fonctions du problème précédent. Ce résultat est comparable à celui concernant la borne supérieure presque sûre de fonctions multiplicatives aléatoires. Avoir une quantité plus simple permet de rendre la démonstration plus accessible. À nouveau, la majoration obtenue est optimale grâce à la minoration obtenue par Gerspach \cite{model_maxim}. Enfin, nous examinons les conditions sous lesquelles la somme de fonctions multiplicatives aléatoires dans les petits intervalles de la forme $(x, x+y]$ suscite le phénomène d'\textit{annulation}. Grâce à l'utilisation des techniques issues du \textit{chaos multiplicatif gaussien}, nous établissons que le point de changement de phase est $\log\big(\frac{x}{y}\big) \approx \sqrt{\log\log x}$. En modélisant les caractères par des fonctions multiplicatives aléatoires, nous établissons une borne supérieure de $\frac{1}{r-1}\sum_{\chi \!\!\!\mod r} \big|\sum_{x