Théorie cinétique, Équation de Boltzmann, Mélanges gazeux, Équation de Maxwell-Stefan, Diffusion croisée, Limites hydrodynamiques, Hypocoercivité, Schéma préservant l'asymptotique

Cette thèse est consacrée à plusieurs études reliant l'équation de Boltzmann pour les mélanges gazeux aux équations de Maxwell-Stefan décrivant la diffusion gazeuse. Notre analyse est construite sur une linéarisation de la solution de l'équation cinétique autour d'un état maxwellien local ayant des vitesses différentes pour chaque espèce du mélange, mais de l'ordre du paramètre d'échelle qui prescrit l'asymptotique diffusive. Dans une première partie, nous montrons que l'opérateur de Boltzmann linéarisé autour d'une telle maxwellienne, ne constituant pourtant pas un état d'équilibre pour le gaz, satisfait une propriété de quasi-stabilité de son trou spectral : le trou spectral obtenu en linéarisant l'opérateur de collision autour d'un état d'équilibre global est préservé à une correction du même ordre que le paramètre d'échelle. Ainsi, nous sommes ensuite en mesure de prouver que le système de Maxwell-Stefan peut être dérivé rigoureusement à partir de l'équation de Boltzmann multi-espèce. Cette dérivation est obtenue en montrant existence et unicité des solutions perturbatives des modèles cinétique et macroscopique, grâce en particulier à des estimations d'hypocoercivité. Dans une deuxième partie du manuscrit, par le biais de la méthode des moments, nous construisons un schéma numérique capable de décrire le comportement des solutions aux différentes échelles de l'asymptotique diffusive. Pour ce schéma, nous prouvons un résultat d'existence et de positivité des solutions, et un caractère préservant l'asymptotique est montré à travers plusieurs tests numériques.