Théorie des représentations, Groupes quantiques, Algèbres de lacets quantiques, Sous-algèbres de Borel, Algèbres de Temperley-Lieb affines, Algèbres affines quantiques décalées, Catégories O, Dualités de Schur-Weyl, R-Matrices, Systèmes intégrables quantiques

Cette thèse s'inscrit dans le vaste domaine de la théorie des représentations des groupes quantiques et des algèbres y étant reliées. Elle est divisée en trois sous-projets, tous motivés par des problèmes provenant de la théorie des systèmes intégrables quantiques et de l'étude des algèbres amassées. La thèse a donné lieu à deux articles publiés et à une prépublication. Le premier sous-projet s'intéresse à la structure algébrique d'une famille remarquable de systèmes physiques : les chaînes de spins XXZ périodiques. Le résultat central du sous-projet est la description explicite et totale de la structure de Jordan-Hölder de ces chaînes de spins pour une action naturelle des algèbres de Temperley-Lieb affines. D'autres résultats issus de ce sous-projet contiennent : une description explicite de la structure des modules projectifs de dimension finie du groupe quantique associé à sl2 (pour q une racine de l'unité) et une généralisation partielle de la célèbre dualité de Schur-Weyl quantique. Le second sous-projet s'intéresse à la construction de R-matrices pour la catégorie O de représentations de la sous-algèbre de Borel d'une algèbre de lacets quantique arbitraire. Les résultats principaux du projet sont la définition d'un foncteur F inversible et exact liant la catégorie O de l'algèbre de Borel Uq(b) à celle de Uq-1(b) avec la preuve que ce foncteur F intervertit les sous-catégories O+ et O- de Hernandez-Leclerc (tout en étant compatible avec les produits tensoriels et la simplicité des modules). Ces résultats, qui répondent à une question de Hernandez-Leclerc, permettent de construire des R-matrices pour la sous-catégorie O+ via des R-matrices "duales" (définies récemment par Hernandez pour O-) et peuvent servir à déduire de nouvelles relations pour l'anneau de Grothendieck de la catégorie O. Enfin, le dernier sous-projet introduit la notion d'inflations pour les représentations des algèbres affines quantiques décalées. Ces inflations, qui sont des préimages particulières pour certains foncteurs de restriction canoniques issus des inclusions de diagrammes de Dynkin, simplifient l'étude des modules sur les algèbres affines quantiques décalées et ont, via ce fait, plusieurs applications en théorie des systèmes intégrables. Le résultat principal de ce dernier sous-projet est un théorème d'existence pour les inflations d'objets simples de la catégorie Osh en type A-B-G (ou en tout type pour les simples de dimension finie de cette catégorie).