Raffinement, Problème de construction, Démarche de validation, Forme d'organisation, Raffinage, Travail mathématique d'organisation, Démonstration, Contrôles, Actes de construction, Produit d'actes de construction

Ce travail présente une analyse des difficultés rencontrées par les élèves du secondaire pour valider les résultats qu'ils obtiennent lorsqu'ils résolvent des problèmes mathématiques. L'hypothèse de départ est que l'institution peut aider les élèves à progresser, sans nécessairement recourir à des préalables relevant de la logique formelle, mais simplement en préconisant une approche permettant de les initier à la validation en même temps qu'ils étudient les contenus mathématiques prescrits dans les programmes. Nous commençons par situer les problèmes de construction dans l'enseignement des mathématiques, puis nous caractérisons plus particulièrement la validation dans la résolution des problèmes de construction. La littérature suggérant de développer la validation, chez les élèves, en les amenant à s'approprier les règles du débat mathématique à travers des situations d'enseignement de la démonstration, nous abordons ce problème dans le cadre de l'organisation des séquences consacrées à des problèmes de construction en exploitant l'entrée par les méthodes de résolution à partir d'une analyse du rapport liant le raffinement de la caractérisation des objets mathématiques au développement de la validation. Nous adoptons une approche semi-intégrative, fondée sur des apports coordonnés de trois cadres théoriques, dont un cadre principal : la Théorie des espaces de Travail Mathématique (ETM) ; dans laquelle nous distinguons les paradigmes Géométriques et les Procédés de Construction. Cette approche, qui rend compte de la manière dont ces deux éléments s'imbriquent dans les ETM idoines pour développer la validation, chez les élèves, nous conduit à étudier la forme d'organisation du travail mathématique et nous donne un cadre pour étudier la manière dont on peut organiser la résolution d'un problème mathématique, pour développer les compétences relatives à la validation, chez les élèves. Ainsi, nous conduisons notre recherche à partir de deux sortes d'enquêtes. La première, exploratoire, vise à identifier la forme d'organisation du travail mathématique mise en œuvre actuellement dans les ETM idoines, en classe de Première scientifique, à décrire son fonctionnement et à dégager ses limites lors du développement de la validation. La deuxième, expérimentale, s'appuie sur les limites du modèle disponible, sur notre conception de l'apprentissage et sur le principe de raffinement d'un savoir mathématique, pour élaborer une forme d'organisation du travail mathématique, capable de mieux développer la validation, chez les élèves, car le traitement expérimental proposé pour la tester, au niveau des enseignants a illustré le rôle d'aide au raffinement, chez les élèves, de la distinction des éléments sur lesquels ces derniers peuvent se référer pour valider les résultats qu'ils obtiennent. L'étude des données de ces enquêtes a permis d'établir que la manière d'organiser la résolution d'un problème mathématique donné, à travers la caractérisation des objets que décrit ce problème, raffine, dans les ETM idoines, en classe de Première Scientifique, une démarche de validation et fournit des moyens permettant de développer les compétences de validation, chez les élèves, de ce niveau d'enseignement.