Catégorie extriangulée, Dg-Catégorie exacte, Dg-Catégorie dérivée, Complexes homotopiques à 3 termes, Sous-Catégorie stable par extensions, Catégorie amassée

Nous introduisons la notion de dg-catégorie exacte, qui généralise simultanément les notions de catégorie exacte au sens de Quillen et de dg-catégorie prétriangulée au sens de Bondal-Kapranov. Il s'agit également d'un analogue différentiel gradué de la notion d'$\infty$-catégorie exacte de Barwick et d'un enrichissement différentiel gradué de la notion de catégorie extriangulée de Nakaoka-Palu. Nos motivations viennnent par exemple des catégories apparaissant dans la catégorification additive des algèbres amassées à coefficients. Nous donnons une définition en complète analogie avec celle de Quillen, mais où la catégorie des paires noyau-conoyau est remplacée par une catégorie homotopique plus sophistiquée. Nous obtenons un certain nombre de résultats fondamentaux concernant le dg-nerf, la dg-catégorie dérivée, les produits tensoriels et les catégories de dg-foncteurs à valeurs dans une dg-catégorie exacte. Par exemple, nous montrons que pour une dg-catégorie $\mathcal A$ dont la catégorie homotopique $H^0(\mathcal{A})$ est additive, on a une bijection entre les structures exactes sur $\mathcal A$ et les structures exactes (au sens de Barwick) sur le dg-nerf de $\mathcal A$. Nous montrons également l'existence de la plus grande structure exacte sur une (petite) dg-catégorie $\mathcal A$ dont la catégorie homotopique est additive. Ceci généralise un théorème de Rump pour les catégories exactes de Quillen.