Méthode volumes-Finis, Ordre élevé, Diffusion anisotrope, Positivité, Schéma DDFV

L'objectif de cette thèse est le développement et l'analyse de schémas volumes finis robustes et précis afin d'approcher la solution de l'équation de diffusion sur maillages quelconques avec un coefficient de diffusion qui peut être anisotrope et/ou discontinu. Afin de satisfaire ces propriétés, nos schémas devront préserver la positivité et être d'ordre élevé. Dans ce manuscrit, nous proposons le premier schéma d'ordre arbitraire préservant la positivité pour la diffusion. Notre démarche est tout d'abord d'étudier le problème en 1D. Dans ce cas le problème de positivité n'apparaît qu'à partir de l'ordre 3. D'autre part, la dimension 1 nous permet de faire l'analyse mathématique de ce problème, notamment une preuve de convergence du schéma à un ordre arbitraire sous une hypothèse de stabilité. Ensuite, nous l'étendons en 2D à l'ordre 2, ce qui permet de nous appuyer sur des schémas connus. Nous avons étudié deux possibilités : un schéma type DDFV (Discrete Duality Finite Volume) que l'on compare à une méthode utilisant des reconstructions polynomiales. Enfin, cela nous permet de développer un schéma monotone d'ordre arbitraire sur maillage quelconque avec un coefficient de diffusion kappa qui peut être discontinu et/ou anisotrope. La montée en ordre se fait grâce à une reconstruction polynomiale et la monotonicité s'obtient en se ramenant à une structure de M-matrice, ce qui nous donne des schémas non linéaires. Chaque schéma est validé par des simulations numériques montrant l'ordre de convergence ainsi que la positivité de la solution obtenue.