Systèmes intégrables, Groupes quantiques, Théorie des représentations, Systèmes QQ¿, Sous-algèbres de Borel, Algèbres de Lie affines tordues, Actions du groupe de Weyl, Équations de KZB quantiques elliptiques

Les sujets abordés dans cette thèse sont organisés en trois parties. Dans la première partie, nous démontrons une conjecture formulée par E. Frenkel et D. Hernandez. Plus précisément, nous avons prouvé les systèmes TQ et les systèmes QQ¿ pour les algèbres affines quantiques tordues, duales de Langlands des algèbres affine quantiques. Pour démontrer ces systèmes, nous développons la théorie des représentations des sous-algèbres de Borel des algèbres affines quantiques tordues. Nous proposons de plus une conjecture énonçant une relation entre l'anneau de Grothendieck de la catégorie O des représentations des sous-algèbres de Borel tordues et celui du type non tordu correspondant. Nous établissons notre conjecture pour une certaines familles de représentations. Nous en déduisons des systèmes TQ et QQ¿ pour les sous-algèbres de Borel tordues. Dans la deuxième partie de la thèse, notre attention se porte sur les types non tordus, où nous examinons une symétrie du groupe de Weyl W associée à la catégorie O des représentations des sous-algèbres de Borel Uqb. Pour chaque élément w dans W, nous étudions les q-caractères normalisés par un l-poids marqué par w. Nous proposons une conjecture sur le phénomène de convergence des q-caractères w-normalisés des représentations de dimension finie. Pour expliquer ce phénomène, nous définissons et explorons les catégories Ow de Uqb-modules, où nous classifions leurs objets simples. Des représentations spécifiques dans Ow sont construites comme la limite inductive de représentations de dimension finie. Nous formulons également une conjecture qui établit un lien entre la catégorie usuelle O et les nouvelles catégories Ow. Cette conjecture suggère une méthode pour calculer les q-caractères d'un grand nombre de représentations dans O. Dans la dernière partie de la thèse, nous orientons notre attention vers les groupes quantiques elliptiques. Dans ce travail collaboratif avec Giovanni Felder et Tommaso Botta, nous résolvons les équations KZB quantiques pour les groupes quantiques elliptiques avec des méthodes géométriques. Nous étudions la structure de mélange des enveloppes stables elliptiques d'Aganagic-Maulik-Okounkov. Cette structure de mélange nous permet de construire des solutions aux équations KZB quantiques. Ce travail généralise la construction initialement élaborée par Felder-Tarasov-Varchenko pour le cas spécifique de sl2.