Problème inverse, Tomographie hybride, Problème du Jacobien non nul, Propriété de continuation unique, Théorème d'immersion de Whitney

Le thème central de cette thèse est l'identification et la reconstruction des paramètres dans les problèmes de valeurs limites pour les équations aux dérivées partielles linéaires du second ordre au moyen de mesures intérieures. Identifier les coefficients signifie les caractériser de manière unique ; reconstruire les coefficients signifie déterminer précisément la valeur de ces coefficients. Dans cette thèse, nous travaillons sur plusieurs modèles : les équations elliptique générales, les équations paraboliques et le système de Maxwell. Nous avons d'abord montré que plusieurs contraintes doivent être imposées aux solutions ou aux mesures aux limites correspondantes afin de reconstruire les coefficients. En particulier, la contrainte dite du Jacobien Non Évanescent doit être imposée lors de l'étude du modèle elliptique et du modèle parabolique. La contrainte dite Rotationnel Non Évanescent ainsi que la contrainte de Jacobien Non Évanescent doivent être prises en compte lors de l'étude du système de Maxwell en trois dimensions. Dans la première partie de cette thèse, nous avons construit un groupe de solutions qui satisfont les contraintes correspondantes dans le domaine cible. Nous avons utilisé une méthode de coefficients gelés combinée à un argument de continuation unique dans le modèle elliptique. Nous avons utilisé le modèle stationnaire et une méthode de temps gelé dans le modèle parabolique et le système de Maxwell. Les coefficients réguliers par morceaux sont également considérés dans cette partie. Dans ce cas, un argument d'extension locale est introduit. Dans la deuxième partie, nous avons réduit le nombre de solutions utilisées. De plus, nous avons établi un résultat de densité à l'aide du théorème d'immersion de Whitney. Dans le cas régulier par morceaux, un résultat de densité similaire est donné à l'aide d'un nouveau résultat d'intégration de Whitney basé sur la géométrie de chaque frontière intérieure et la dimension. En conclusion, nous avons montré dans cette thèse que sous certaines hypothèses de régularité uniforme des coefficients, la famille des 2d solutions de l'équation elliptique qui satisfont la contrainte du Jacobien Non Évanescent est à la fois ouverte et dense. De plus, la famille des 2d+1 solutions de l'équation parabolique qui satisfont la contrainte du Jacobien Non Évanescent est aussi à la fois ouverte et dense, ainsi que la famille des 10 solutions du système de Maxwell qui satisfont les contraintes. Dans le cadre des coefficients réguliers par morceaux, la famille de 2d+1 (lorsque d=2,4,8) ou 2d+2 (pour les autres dimensions) solutions de l'équation elliptique qui satisfont la contrainte est à la fois ouverte et dense. La famille des solutions 2d+2 (quand d=2,4,8) ou 2d+3 (pour les autres dimensions) de l'équation parabolique qui satisfait la contrainte est aussi à la fois ouverte et dense.