Milieux hétérogènes, Homogenéisation, Modèle effectif, Approximation par un graphe, Système de particules en interaction, Suspension de micro-Nageurs, Rhéologie, Limite hydrodynamique, Fluide non-Newtonien

Cette thèse de doctorat est consacrée à l'analyse d'équations aux dérivées partielles décrivant des milieux hétérogènes, solides ou fluides, caractérisés par la présence d'échelles microscopiques et macroscopiques. Le fil directeur de ce manuscrit est la dérivation et l'étude de nouveaux modèles simplifiés, issues de ces équations. Le travail de cette thèse est structuré en trois parties indépendantes. Dans la première partie, nous nous concentrons sur l'homogénéisation d'inclusions de conductivité infinie, réparties de manière aléatoire à l'intérieur d'un milieu conducteur homogène. Pour ce problème, il existe un modèle effectif limite de conductivité finie homogène sous des hypothèses sur la répartition des inclusions. En nous appuyant sur des idées d'approximation par un graphe, nous fournissons un critère général relaxé assurant l'homogénéisation et l'existence d'un modèle effectif. Dans la deuxième partie, nous étudions la rhéologie d'une suspension de micro-nageurs, à l'équilibre dans un écoulement de Stokes. Dans le cadre d'un régime dilué, nous dérivons un modèle effectif qui capture la viscosité induite par un grand nombre de particules solides ainsi qu'un stress effectif causé par leur auto-propulsion. Dans la troisième et dernière partie de cette thèse, nous considérons une description mésoscopique d'une suspension de micro-nageurs browniens qui couple la densité de particules avec la vitesse du fluide. On s'intéresse à un régime spécifique d'un petit nombre de Weissenberg où la diffusion rotationnelle des particules domine. Nous utilisons alors une approche perturbative pour justifier que le système est proche d'un modèle macroscopique correspondant à un fluide non-newtonien de second ordre.