| Resumé |
Le programme de Langlands est un domaine de recherche actif et fécond, visant à établir des liens profonds entre la théorie des nombres et les représentations des groupes réductifs. Au cœur de ce programme se trouve la conjecture de fonctorialité globale, qui propose une correspondance entre les formes automorphes des groupes réductifs par le biais d'un morphisme approprié de leurs L-groupes. Notamment, la correspondance de Jacquet-Langlands globale prévoit un lien entre les représentations automorphes d'une forme intérieure d'un groupe linéaire général et celles du groupe linéaire général lui-même. Parmi les nombreux outils destinés à résoudre le problème de fonctorialité globale, la formule de trace occupe une place prépondérante. Malgré sa forme relativement simple, la version non-invariante de cette formule est souvent mise de côté en raison de ses complexités techniques. À la place, elle est fréquemment transformée en sa version invariante ou même stabilisée pour en faciliter l'application pratique. Par exemple, c'est grâce à la formule de trace invariante développée par Arthur et Clozel que Badulescu et Renard ont pu établir la correspondance de Jacquet-Langlands globale en l'année 2010. Cette thèse se concentre sur une approche non-invariante de la correspondance de Jacquet-Langlands globale. Nous débutons par l'étude des propriétés analytiques des intégrales orbitales pondérées non-invariantes sur l'algèbre de Lie d'une forme intérieure d'un groupe linéaire général. Ensuite, nous entreprenons la comparaison des côtés géométriques des formules des traces non-invariantes, en manipulant les analyses sur les algèbres de Lie. Dans la dernière partie du manuscrit, nous analysons les côtés spectraux des formules des traces, et nous explorons d'autres implications arithmétiques potentielles découlant de notre approche via les algèbres de Lie. |