Forcing (mathématiques), Ensemble stationnaire, Conditions latérales (forcing), Jeux (mathématiques), Axiomes de forcing, Maximum de Martin, Namba forcing, Propriétés de cohérence, Pmax forcing, Modèles virtuels

Cette thèse explore des possibilités à généraliser les puissantes méthodes de construction de forcings propres à l'aide des conditions latérales, afin d'obtenir des techniques de conditions latérales qui permettent de construire des notions de forcing qui sont en général non-propres mais qui préservent néanmoins des sous-ensembles stationnaires de ω1. Après parcourir brièvement les prérequis nécessaires au Chapitre 1, nous introduisons et étudions au Chapitre 2 la propriété de forcing fortement-ssp (fortement-préservant les ensembles stationnaires), qui généralise le forcing fortement-propre de Mitchell, et considérons les axiomes de forcing correspondants. Nous montrons que cette sous-classe de la classe des forcings ssp suffit pour une variété d'applications, mais montrons aussi qu'en même temps, tous les forcings fortement-ssp satisfont des propriétés très distinctives qu'ils partagent avec les forcings fortement-propres. Nous présentons et étudions de plus près une famille étendue d'exemples de forcings fortement-ssp, les chain shooting forcings généralisés. Chacun de ces forcings est défini par un cadre d'extension qui peut être adapté à l'objet générique que le forcing est visé d'ajouter. Cela confère une flexibilité à la construction des forcings qui rappelle la méthode de construction des forcings propres à partir des conditions latérales. Un aspect utile de cette méthode est que les cadres d'extension qui donnent lieu à des forcings ssp sont naturellement obtenues à partir de certaines familles de jeux fermés à deux joueurs pour lesquels des stratégies gagnantes existent pour le joueur approprié. Ceci est précisé au Chapitre 3, qui concerne plusieurs liens entre les questions de forceabilité et l'existence de stratégies gagnantes pour certaines familles de jeux fermés. Nous utilisons une notion de problème combinatoire général et un jeu de cohérence associé pour étudier de plus près la connexion. Aux Chapitres 4 et 5 les chain shooting forcings généralisés sont utilisés pour donner de nouvelles preuves combinatoires pour des résultats qui ont été initialement démontrés en utilisant la méthode de L-forcing développé par Jensen. Au Chapitre 4, nous discutons la relation précise entre la (fortement-)semipropreté des forcings Namba et les jeux de cohérence généralisés correspondants. Nous considérons des généralisations du jeu Namba comme le jeu Namba multiple, pour lequel nous remarquons que le deuxième joueur a une stratégie gagnante pour suffisamment de modèles. Ceci est utilisé pour construire un forcing fortement-ssp de type Namba qui permet de changer à volonté les cofinalités de nombreux cardinaux réguliers du modèle de départ pour devenir soit ω, soit ω1. Le Chapitre 5 concerne des chain shooting forcings généralisés qui ajoutent un modèle itérable dénombrable qui est le modèle de départ d'une itération générique de longueur ω1+1 dont le modèle final est de type Hλ^V. Comme alternatives aux L-forcings de Claverie et Schindler (2009) et Doebler et Schindler (2009), nous obtenons des forcings fortement-ssp pour forcer (sous des hypothèses appropriées) des Σ1-formules spécifiques pour Hω2, ainsi p.e. augmentant la valeur du deuxième indiscernable uniforme u2 au-delà d'un ordinal désigné. Au dernier chapitre de la thèse, une méthode plus générale de construction de forcings ssp est considérée, basée sur une construction de scaffolding itérée. Nous examinons les posets résultants, puis montrons, inspiré par les arguments de Aspero et Schindler (2021), l'applicabilité de cette méthode pour dériver à partir d'axiomes de forcing bornés certaines conséquences de l'axiome de Woodin (*), en utilisant des résultats récents de Kasum et Velickovic (2023).