Multi-géodésiques aléatoires sur les surfaces hyperboliques, Surfaces à petits carreaux, Théorie de Teichmüller, Loi de Poisson--Dirichlet, Théorie d'intersection sur les espaces de modules

Une multi-géodésique est une union disjointe de géodésiques fermées sans auto-intersections. Après avoir expliqué comment choisir au hasard une multi-géodésique sur une surface hyperbolique, on détermine la loi de la partition de la longueur totale d'une multi-géodésique aléatoire d'un type topologique fixe sur une surface hyperbolique en utilisant les méthodes développés par Margulis dans sa thèse et le théorème d'équidistribution des horosphères dû à Mirzakhani. Cette loi admet une densité polynomiale dont les coefficients s'écrivent explicitement en termes de nombres d'intersection des classes de psi sur la compactification de Deligne--Mumford de l'espace de modules de courbes complexes lisses, et en particulier, elle ne dépend pas de la métrique hyperbolique de la surface. On montre ensuite que, lorsque le genre de la surface tend vers l'infinie, la distribution de la partition de la longueur totale d'une multi-géodésique aléatoire générale (sans imposer de contraintes topologiques) converge en loi vers le processus de Poisson--Dirichlet de paramètre 1/2. En particulier, les longueurs moyennes des trois composantes connexes les plus longues d'une multi-géodésique aléatoire sur une surface hyperbolique de grand genre sont approximativement 75.8%, 17.1%, 4.9%, respectivement, de la longueur totale. Les éléments clés de la preuve sont l'analyse ansymptotique des nombres d'intersection et des volumes de Masur--Veech effectuée par Aggarwal, et les travaux de Delecroix--Goujard--Zograf--Zorich sur la topologie des multi-géodesiques aléatoire.