Structures relatives de Calabi-Yau, Complétions relatives de Calabi-Yau, Catégories relatives amassées, Mutation de carquois glacés, Carquois glacés à potentiel, Algèbres de Ginzburg relatives, Équivalences dérivées

La catégorie amassée généralisée (supérieure) associée à une dg-algèbre (n+1)-Calabi-Yau appropriée a été introduite par Claire Amiot et Lingyan Guo. Elle est Hom-finie, n-Calabi-Yau et admet un objet canonique n-amas-basculant. Notre premier objectif dans cette thèse est de généraliser leur construction au contexte relatif. Nous prouvons l'existence d'un objet n-amas-basculant dans une catégorie extriangulée de Frobenius qui est stablement n-Calabi-Yau et Hom-finie, associée à un morphisme (n+1)-Calabi-Yau. Nos réultats s'appliquent en particulier aux dg-algèbres relatives de Ginzburg provenant de carquois glacés à potentiel. Ils sont étroitement liés aux algèbres de n-représentation finie étudiées par Iyama-Oppermann. En 2009, Keller et Yang ont catégorifié les mutations de carquois en les interprétant en termes d'équivalences entre catégories dérivées. Leur approche était basée sur les algèbres de Calabi-Yau de Ginzburg et sur la mutation de Derksen-Weyman-Zelevinsky des carquois à potentiel. Récemment, Matthew Pressland a généralisé la mutation des carquois à potentiel à celle des carquois glacés à potentiel. Notre deuxième objectif dans cette thèse est de catégorifier la règle de mutation de Pressland. Nous montrons qu'elle fournit des équivalences dérivées entre les algèbres de Ginzburg relatives associées, qui sont des cas particuliers de complétions relatives Calabi-Yau déformées de Yeung. Nous donnons également une catégorifiation de la mutation par rapport à des sommets gelés telle qu'elle apparaît dans les travaux récents de Fraser-Sherman-Bennett sur les structures amassées sur les variétés positrödes ouvertes.