Variété de caractère, Polynôme de Hodge, Fonctions Symétrique

Soit σl'automorphisme par transpose-inverse de GLn, qui définit un produit semi-direct GLn¿<¿>. Soit Y¿X un revê-tement double de surfaces de Riemann, qui est exactement la partie non ramifiée d'un revêtement ramifié de surfaces de Riemann compactes. L'élément non trivial de Gal(Y/X) sera noté τ. A chaque point ramifié enlevé, on associe une GLn(C)-classe de conjugaison contenue dans la composante connexe GLn(C).¿, et on exige que la famille C des classes de conjugaison soient générique. La variété de GLn(C)¿<¿>-caractère que l'on a étudié est l'espace de module des pairs (L,Φ) formés d'un système local L sur Y et d'un isomorphisme Φ:L ¿ τ*L*, dont les monodromies autour des points ramifiés sont déterminées par C. On calcule le E-polynôme de cette variété de caractère. A ce fin, on utilise un théorème de Katz, ce qui nous ramème au comptage des points sur corps finis. La formule de comptage fait intervenir les caractères irréductibles de GL_n(q)¿<¿>, et donc la table des l-adic caractères de ce groupe est déterminée au fur et à mesure. Le polynôme qui en résulte s'exprime comme un produit scalaire de certaines fonctions symétriques associées au produit de couronne (Z/2Z)^N¿(S_N), avec N=[n/2].