Foncteur spectraux, Faisceau structurel, Foncteur stable, Adjoint à droite local, Admissibilité

La construction spectrale subsume plusieurs notions mathématiques d'importance, telles que le spectre d'un anneau commutatif en géométrie algébrique ou la dualité de Stone. Entremêlant des aspects catégoriques, topologiques et logiques, elle repose sur la notion de géométrie, une condition reliant un choix de théorie essentiellement algébrique, d'une extension géométrique axiomatisant une classe d'objets dits locaux, et d'un système de factorisation, encodant des situations de nature géométrique dans une catégorie d'objets algébriques. Le spectre associé à une géométrie est alors une construction permettant de déployer cette géométrie cachée d'une façon universelle. Plusieurs approches plus ou moins complètes ont été proposées en parallèle pour la construction spectrale, utilisant des formalismes très différents, les uns issue de la théorie catégoriques des modèles, d'autres purement catégoriques, d'autres reposant sur le langage des topos. Cette thèse se propose d'unifier ces différents traitements en une approche synthétique combinant les différents aspects de cette construction. Nous discutons par ailleurs en épilogue quelques éléments pour une version 2-catégorique de cette théorie permettant de retrouver les dualités syntaxe-sémantique de la logique du premier ordre comme des constructions spectrales.