| Resumé |
Nous présentons la géométrie de Cartan généralisée qui est une structure géométrique localement isomorphe au fibré principal associé à une géométrie de Cartan sur une variété différentiable et proposons de formuler les théories de champs dans le cadre de la géométrie de Cartan généralisée. Nous proposons une interprétation du modèle de Hélein-Vey pour la gravitation d'Einstein-Cartan comme une géométrie de Cartan généralisée résultant d'équations variationnelles (et vérifiant des équations de champs physiques) et abordons le modèle depuis une perspective géométrique originale. Nous expliquons notamment le "mécanisme d'annulation" crucial pour le modèle comme une propriété de certains composantes des équations d'Euler-Lagrange. Cette approche nous permet d'élargir la théorie afin de coupler des spineurs de Dirac à l'espace-temps d'Hélein-Vey-Einstein-Cartan modélisé par une géométrie de Cartan généralisée. Les solutions satisfont les équations d'Einstein-Cartan-Dirac sur un espace-temps sous-jacent qui peut être une variété différentielle mais peut également présenter des singularités, par exemple de type orbifold. Nous étudions également la question de savoir si une géométrie de Cartan généralisée correspond à une géométrie de Cartan au sens standard et par cela corrigeons une omission dans le traitement d'Hélein et Vey de leur modèle. Il s'agit de l'occasion de fournir un nouveau traitement à la question de l'intégration de l'action d'une algèbre de Lie en une action de groupe. Nous abordons également le problème de la structure différentielle de l'espace quotient et de savoir si l'application quotient définit un fibré principal. Nous définissons le "groupoïde de pseudo-action locale" qui est un groupoïde de Lie encodant toute la structure globale associée à une action d'algèbre de Lie sur une variété différentielle et établissons un résultat d'équivalence avec la construction de la complétion telle que définie par Kamber et Michor. |