Homologie de Hochschild, Homologie cyclique, Catégorie dérivée, Catégorie différentielle graduée, Catégorie des singularités

L'homologie de Hochschild a été introduite par Gerhard Hochschild en 1945. Elle est un invariant important d'une algèbre associative sur un corps k. La définition s'étend facilement des k-algébres aux k-catégories et aux k-catégories différentielles graduées (=dg-catégories). Les catégories des singularités ont été découvertes par Buchweitz dans un contexte algébrique en 1986 et redécouvertes par Orlov dans un contexte géométrique en 2003. Dans cette thèse, nous étudions l'homologie de Hochschild des dg-catégories qui enrichissent canoniquement la catégorie dérivée et la catégorie des singularités d'une algèbre de dimension finie. L'un de nos résultats principaux affirme que l'homologie de Hochschild du dg-enrichissement de la catégorie des singularités est calculée par le complexe de Hochschild double, qui est issu de la fusion du complexe de Hochschild classique et de son k-dual. Nous rapportons aussi des applications de l'homologie de Hochschild et de l'homologie cyclique dans l'étude des structures de Calabi-Yau relatives et des complétions de Calabi-Yau relatives suivant des travaux récents de Brav-Dyckerhoff et Yeung.