Plongements grossiers, Espaces symétriques, Immeubles Euclidiens, Espaces CAT(0), Groupes modulaires de surfaces, Fonctions de remplissage

Cette thèse est consacrée à l'étude des plongements grossiers entre groupes et espaces métriques. La notion de plongement grossier a été introduite par Gromov dans les années 80. C'est une généralisation des plongements quasi-isométriques quand les fonctions de contrôle ne sont pas nécessairement affines. On s'intéresse particulièrement aux obstructions à l'existence de tels plongements entre espaces symétriques de type non-compact, immeubles Euclidiens, espaces CAT(0) cocompacts et groupes modulaires de surfaces. Il est bien connu, par des résultats d'Anderson--Schroeder et de Kleiner, que le rang (la dimension maximale d'un plat/quasi-plat) des espaces CAT(0) propres et cocompacts est monotone par plongements quasi-isométriques. Ce n'est plus le cas pour les plongements grossiers, comme le montrent les plongements horosphériques dans les espaces hyperboliques. Nous montrons que si l'espace de départ est un produit d'espaces métriques géodésiques à croissance exponentielle, ou un produit d'espaces symétriques de type non-compact et d'immeubles Euclidiens sans facteur Euclidien, le rang est toujours monotone par plongements grossiers. L'espace d'arrivée peut être un espace CAT(0) propre cocompact ou un groupe modulaire de surface. Ceci répond à une question de David Fisher et Kevin Whyte pour les espaces symétriques. Nous pouvons aussi affaiblir la condition sur l'espace de départ en lui permettant de contenir un facteur Euclidien de dimension 1, répondant ainsi à une question de Gromov. La preuve fait intervenir les fonctions de remplissage homologiques de dimensions supérieures.