Géométrie de contact, Variété sous-Riemanienne, Processus stochastique, Atteignabilité locale, Système de contrôle bilinéaire, Contrôlabilité approchée, Feuilletage, Espaces de longueur, Approximation riemanienne, Courbure de Gauss, Groupe d'Heisenberg

Les quatre chapitres de cette thèse contiennent des résultats originaux relatifs aux surfaces dans une variété sous-riemanienne de contact de dimension trois, et à certaines propriétés concernant la contrôlabilité en théorie géométrique du contrôle. Ils sont précédés par une introduction, qui donne un aperçu de ces résultats et de la littérature antérieure. Nous avons étudié le sujet des surfaces de deux points de vue. En premier lieu, étant donnée une surface dans une variété sous-riemannienne de contact de dimension trois, nous examinons la structure métrique induite sur la surface, au sens des espaces de longueur. Nous définissons un nouveau coefficient métrique en tout point caractéristique de la surface, et nous identifions des conditions globales pour que la distance induite soit finie. En particulier, nous montrons que la distance induite est finie pour des surfaces avec la topologie d'une sphère, plongées dans une distribution coorientable tendue, et avec des points caractéristiques isolés. En second lieu, nous étudions un nouveau processus stochastique sur des telles surfaces. Précisément, en utilisant l'approximation riemanienne par rapport au champ de Reeb de la structure sous-riemanienne, nous obtenons un opérateur différentiel d'ordre deux sur la surface résultant de la limite d'opérateurs de Laplace-Beltrami. Le processus stochastique associé avec cet opérateur se déplace le long du feuilletage caractéristique induit sur la surface par la distribution de contact. Pour ce processus stochastique nous montrons que les points caractéristiques elliptiques sont inaccessibles, tandis que les points caractéristiques hyperboliques sont accessibles à travers les séparatrices. Nous illustrons ce processus avec des exemples, et nous reconnaissons des processus stochastiques classiques qui apparaissent sur certaines surfaces plongées dans les espaces modèles de structure sous-riemanienne sur les groupes de Lie de dimension trois. Quant à la contrôlabilité, nous montrons qu'un système qui satisfait la propriété d'atteignabilité locale dans une variété connexe est contrôlable. Ci-dessus nous disons qu'un système de contrôle satisfait la propriété d'atteignabilité locale si les ensembles atteignables à partir de tout état sont un voisinage ouvert de l'état de départ, tandis qu'il est dit contrôlable si les ensembles atteignables à partir de tout état coïncident avec la variété entière. Etrangement, le fait que l'atteignabilité locale implique la contrôlabilité globale semble ne pas avoir été considéré dans la littérature, malgré l'apparente absence d'arguments élémentaires justifiants cette implication. Pour conclure, nous montrons qu'un système de contrôle bilinéaire est contrôlable de façon approchée si et seulement s'il est contrôlable en R^{n}\{0}. Nous étudions ce problème en analysant le feuilletage défini par les orbites du système, et en montrant qu'il n'existe pas de feuilletage de codimension un en R^{n}\{0} dont les feuilles sont denses et partout transversales à la direction radiale. L'approche géométrique ainsi proposée permet d'étendre ce résultat aux systèmes homogènes qui sont contrôlables angulairement.