Cohomologie, Laplacian, Spectre, Forme de torsion analytique, Operateurs de Toeplitz

Bismut-Ma-Zhang a donné une construction générale d'une famille de fibrés vectoriels plats {Fp}p¿N¿ sur toute variété compacte et ils ont exprimé le développement asymptotique de leurs torsions analytiques comme une intégrale d'une forme différentielle locale calculable sur la variété de base. En effet, ils ont travaillé dans un cadre général des formes de torsion analytique de Bismut-Lott. Notre résultat principal est d'étendre le travail de Bismut-Ma-Zhang pour obtenir un développement complet des torsions asymptotiques et donner une formule explicite pour le deuxième terme de l'asymptotique. Les techniques de la théorie de l'indice local dans le contexte en famille jouent un rôle important. En particulier, nous utilisons le changement d'échelle de deux types de variables de Clifford par Bismut-Zhang. La stratégie pour obtenir un développement complet est d'étudier l'asymptotique locale de certains noyaux de la chaleur. Nous utilisons la méthode de localisation analytique de Bismut-Lebeau. Après localisation et changement d'échelle du Laplacien LFp , nous obtenons un opérateur LFp . Nous devons décrire le développement complet de l'opérateur LFp par rapport au paramètre p ¿ N¿ dans un sens approprié. Habituellement, les fibrés vectoriels sont de dimensions constantes, nous pouvons donc toujours supposer que localement les fibrés vectoriels sont fixes et que les opérateurs ont leurs coefficients dans un espace fixe, alors que ce n'est non pas le cas ici. Les dimensions de {Fp}p¿N¿ croissent comme un polynôme quand p ¿ +¿. Pour obtenir une estimation uniforme de p ¿ N¿, nous appliquons l'approche de Bismut-Ma-Zhang pour considérer tous les opérateurs dépendant de p ¿ N¿ en une seule fois avec les coefficients comme des opérateurs de Toeplitz.