Théorie ergodique, Sous-groupes aléatoires invariants, Hyperfinitude, Moyennabilité, Théorie des modèles continue

Cette thèse est centrée sur l'étude des actions préservant la mesure de groupes dénombrables sur des espaces de probabilité, et des sous-groupes aléatoires invariants (IRS) associés. Elle consiste en deux parties. Dans la première, on y étudie les actions préservant la mesure dont l'IRS associé est hyperfini, cadre qui généralise celui des actions libres de groupes moyennables. On redémontre un théorème de G. Elek qui dit que deux actions préservant la mesure de même IRS hyperfini sont approximativement conjuguées. La preuve fournit en fait un résultat plus précis qu'on utilise ensuite pour étudier les actions préservant la mesure d'IRS hyperfini du point de vue de la théorie des modèles métrique. La seconde partie se focalise sur les IRS non hyperfinis, et plus généralement sur les groupoïdes préservant la mesure non hyperfinis (un IRS donnant naturellement lieu à un groupoïde). La propriété (T) des groupoïdes préservant la mesure est caractérisée en termes d'actions ergodiques, étendant de manière naturelle un résultat de Connes et Weiss pour les groupes dénombrables. Ce résultat est utilisé dans un travail en commun avec Alessandro Carderi et François Le Maître, où il est montré qu'une relation d'équivalence préservant une mesure de probabilité a la propriété (T) si et seulement si toutes les actions ergodiques non libres de son groupe plein sont fortement ergodiques. On étend ensuite un résultat de Hjorth sur l'espace des actions aux IRS, et en déduit un résultat de rigidité pour une nouvelle relation sur l'espace des actions. La thèse se conclut par un panorama des différentes relations sur l'espace des actions préservant la mesure d'un groupe dénombrable.