Compliance, P-Laplace, Optimisation de forme, Théorie de la régularité, Frontière libre, Plan, Connexité, Minimiseurs

Nous étudions la régularité et la structure topologique d'un ensemble minimisant la fonctionnelle de p-compliance avec une pénalisation de longueur. La caractéristique clé de notre travail est que nous étudions la régularité des minimiseurs pour certains problèmes de type frontière libre avec un ensemble de frontière libre de grande codimension. Nous prouvons qu'en toute dimension spatiale N supérieure ou égale à 2 et pour chaque nombre réel p strictement supérieur à N-1, si S est un minimiseur de la fonctionnelle de p-compliance avec une pénalisation de longueur, alors S ne peut pas contenir de boucles fermées (c.-à.-d., des images homéomorphes du cercle S^{1}), S est C^{1,alpha} régulier en presque tout point (par rapport à la mesure de Hausdorff unidimensionnelle) qui est dans un ensemble borné ouvert donné O, S ne peut pas contenir de points quadruples dans O, ce qui signifie qu'il n'y a pas de boule centrée sur S et contenue dans O telle que S dans cette boule soit une union de quatre arcs distincts de classe C^{1}, dont chacun rencontre exactement l'un des trois autres à un angle de 180 degrés, et chacun des deux autres à un angle de 90 degrés. Nous montrons également qu'en dimension 2 et pour chaque nombre réel p strictement supérieur à 1, si S est un minimiseur de la fonctionnelle de p-compliance avec une pénalisation de longueur contenant au moins deux points, alors S est Ahlfors régulier jusqu'à la frontière d'un domaine lipschitzien. Enfin, nous fournissons une preuve de l'importance de l'hypothèse de connexité dans l'énoncé du problème de p-compliance avec pénalisation de la longueur et dans l'énoncé de la forme contrainte de ce problème pour l'existence de solutions sous les hypothèses optimales. Les résultats de cette thèse généralisent certains des résultats obtenus dans [CLLS], mais contiennent également de meilleurs résultats en dimension 2 et pour le cas particulier p = 2. Aussi, dans un certain sens et en dimension 2, le résultat de cette thèse peut être considéré comme faisant un lien entre le résultat dans [CLLS] et le résultat dans [Sle].