| Resumé |
La présente thèse traite des problèmes de contrôle stochastique linéaire-quadratiques non markoviens. Elle est divisée en trois parties. Dans la première partie, nous abordons des problèmes de contrôle de Volterra stochastique dont le noyau peut être exprimé sous forme de transformée de Laplace. Ces hypothèses sont inspirées de la réécriture du mouvement brownien fractionnaire comme somme infinie de processus markoviens. Les fonctions de commande de rétroaction et de valeur optimales sont exprimées en termes d'équations de Riccati à valeur dans un Banach dont l'existence et l'unicité sont prouvées. Dans la deuxième partie, nous revisitons le célèbre problème de sélection de portefeuille multivarié de Markowitz où des actifs de différentes rugosités sont considérés. Le contrôle optimal et la frontière efficace sont dérivés en termes d'opérateur de Riccati à valeur dans en espace de Hilbert. Le caractère explicite de notre analyse nous permet de mettre en oeuvre un schéma numérique simple que nous illustrons dans le cas de l'allocation de portefeuille avec 2 actifs, un rugueux H=0.1 et un lisse H=0.45. De manière surprenante, nos simulations ont pu reproduire la stratégie buy rough sell smooth exposée dans [GH20a], fournissant ainsi une explication endogène de cette allocation. Enfin, la dernière partie traite du contrôle retardé des équations différentielles stochastiques. Nous résolvons une version simplifiée au moyen d'équations aux dérivées partielles de type Riccati dont l'existence et l'unicité sont prouvées, à condition qu'une condition combinant l'horizon, le retard, la dérive et la volatilité soit satisfaite. Une méthode de résolution par réseaux de neurones est utilisée pour résoudre les équations de Riccati dans le contexte de la sélection de portefeuille de Markovitz avec délai d'exécution. |