Estimation non paramétrique, Estimation par projection, Problème inverse, Base d'Hermite, Base de Laguerre, Sélection de modèles, Méthode de Goldenshluger et Lepski

Dans cette thèse, nous développons des procédures d'estimation non paramétrique pour divers problèmes inverses sur des espaces de Laguerre et d'Hermite. La première partie est consacrée à l'estimation des dérivées d'une fonction de densité en base de Laguerre et d'Hermite. La deuxième partie est dédiée à l'estimation d'une densité et d'une fonction de régression dans un modèle de convolution en base d'Hermite. Différentes méthodes d'estimation sont présentées: méthode de projection fondée sur un développement de la fonction d'intérêt (densité, dérivée d'une densité, fonction de régression) en base de Laguerre ou d'Hermite; mixte déconvolution-projection basée sur un développement en base d'Hermite et une transformation de Fourier inverse. Pour chacune de ces méthodes, nous établissons des bornes pour le risque quadratique. Pour des choix adéquats des paramètres (dimension de l'espace de projection ou cut-off), nous obtenons des vitesses de convergence de nos estimateurs. Ces paramètres dépendent cependant de quantités inconnues. Ainsi, nous proposons des procédures adaptatives pour les choisir de façon pertinente en s'inspirant des critères de sélection de modèles par pénalisation du type Birgé & Massart (1997) ou des méthodes de Goldenshluger & Lepski (2011) et nous démontrons des inégalités oracles non asymptotiques en utilisant les inégalités de concentration. Des études numériques et des comparaisons avec d'autres stratégies sont exposées pour illustrer les bonnes performances des méthodes proposées.