| Resumé |
Cette thèse concerne les algèbres de Hall. Nous définissons des algèbres de Hall étendues tordues de catégories triangulées et montrons que, dans certains cas, elles sont bien définies même lorsque leurs contreparties non étendues ne le sont pas. Nous montrons que chaque catégorie exacte aux équivalences faibles avec une structure supplémentaire appropriée donne naturellement lieu à une algèbre de Hall étendue tordue de sa catégorie homotopique.Nous montrons que cette construction récupère la catégorification par Bridgeland des groupes quantiques via les algèbres de Hall de complexes et sa généralisation par Lu et Peng. Nous montrons que les algèbres ainsi définies sont fonctorielles par rapport aux foncteurs exacts respectant les équivalences faibles. Cela nous permet de prouver l'invariance par basculement des algèbres de Bridgeland et de catégorifier les symétries de Lusztig des groupes quantiques. Sous des conditions de finitude appropriées, pour deux structures exactes différentes sur la même catégorie additive, l'une ayant strictement moins de conflations que l'autre, nous définissons une filtration sur l'algèbre de Hall de cette dernière dont le gradué associé est l'algèbre de Hall de la première. Cette construction généralise les filtrations de type PBW quantiques. |