| Resumé |
La cryptographie post-quantique est une branche de la cryptographie qui vise à concevoir des systèmes cryptographiques non quantiques (c'est-à-dire classiques), qui sont protégés contre un adversaire possédant un ordinateur quantique. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur l'étude de deux problèmes fondamentaux pour la cryptographie post-quantique : le problème du plus court vecteur (SVP) et le problème de la somme de sous-ensembles aléatoires. Le SVP demande de trouver le plus court vecteur non nul d'un réseaux euclidien donné. Il sert de jauge pour quantifier la sécurité de la cryptographie reposant sur les réseaux euclidiens, qui est considérée comme prometteuse pour l'ère post-quantique. Les principales approches pour résoudre le SVP sont les algorithmes de tamisage, qui utilisent un temps et un espace exponentiels, et les algorithmes d'énumération, qui utilisent un temps superexponentiel et un espace polynomial. Dans cette thèse, nous donnons tout d'abord un compromis temps-mémoire prouvable qui interpole approximativement entre les garanties de ressources des algorithmes de tamisage et celles des algorithmes d'énumération. Nous montrons ensuite l'algorithme quantique prouvable le plus rapide connu qui résout le SVP en temps 2^(0.9535n) et en mémoire classique 2^(0.5n+o(n)) avec seulement un nombre poly(n) de qubits. Nous montrons également le meilleur algorithme prouvable classique connu dont la complexité en mémoire est de 2^(0.5n+o(n)). Quant aux algorithmes d'énumération, on pensait auparavant qu'ils pouvaient bénéficier d'une accélération quadratique quantique grâce à l'algorithme de Grover. Nous montrons que cette accélération quadratique peut effectivement être obtenue pour l'algorithme d'énumération de base et ses variantes d'élagage cylindrique et discret, mais avec des algorithmes quantiques plus sophistiqués tels que la marche quantique sur les arbres. Notre accélération quantique s'applique également à l'élagage extrême où l'on répète le processus d'énumération sur plusieurs bases réduites. Le problème de la somme de sous-ensembles aléatoires sous-tend également certains schémas cryptographiques visant à la sécurité post-quantique, bien qu'il soit principalement de nature académique. Dans un contexte de cryptanalyse, il sert souvent d'outil car de nombreux problèmes sur lesquels se fonde la cryptographie moderne peuvent être exprimés comme des variantes (vectorielles) du problème de la somme de sous-ensembles. Plus récemment, il a également été démontré qu'il peut être utilisé comme élément de base dans certains algorithmes de décalage caché quantique, qui ont des applications dans la cryptanalyse quantique de schémas symétriques et de schémas reposant sur les isogénies. Dans cette thèse, nous présentons de nouveaux algorithmes classiques et quantiques pour la résolution du problème de la somme de sous-ensembles aléatoires. Nous obtenons d'abord l'algorithme classique le plus rapide connu en temps Õ(2^0.283n)). Ensuite, nous améliorons l'état de l'art des algorithmes quantiques pour ce problème dans plusieurs directions. Nous concevons un algorithme avec un temps asymptotique Õ(2^0.236n), avec l'avantage d'utiliser une mémoire classique avec accès aléatoire quantique. Les algorithmes connus précédemment utilisaient des marches quantique, et nécessitaient une mémoire quantique avec accès aléatoire quantique.Nous proposons également des marches quantiques plus rapides pour ce problème en temps Õ(2^0.216n). Ce temps dépend d'une heuristique concernant le temps de mise à jour dans les marches quantiques. Les algorithmes précédents pour ce problème dépendaient eux aussi de cette heuristique. Nous montrons comment surmonter partiellement cette heuristique, et nous obtenons un algorithme quantique de temps Õ(2^0.218n) ne nécessitant que les heuristiques standard du problème de la somme de sous-ensembles aléatoires. |