On the deviations of ergodic averages on the torus and their applications
Sur les déviations des moyennes ergodiques sur le tore et leurs applications
par Hao WU sous la direction de Bassam FAYAD
Thèse de doctorat en Mathématiques
ED 386 Sciences Mathematiques de Paris Centre

Soutenue le jeudi 17 novembre 2022 à Université Paris Cité

Sujets
  • Analyse diophantienne
  • Dynamique homogène
  • Irrégularités de distribution (théorie des nombres)
  • Marches aléatoires (mathématiques)
  • Théorie ergodique

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Mots clés
Discrépances ergodiques, Dynamiques homogènes, Approximations diophantiennes, Marches aléatoires ergodiques
Resumé
Nous prouvons plusieurs résultats sur les distributions limites et les bornes absolues des fonctions de discrépances pour des actions de translation sur le tore. Nous montrons l'existence de lois limites, après normalisation adéquate, pour les fonctions de discrépance des actions Z² par translations sur le tore relativement à des formes symétriques strictement convexes. Nous obtenons également des bornes supérieures presque optimales pour les fonctions de discrépance dans le cas des translations sur le tore relativement aux polygones et dans le cas des formes linéaires relativement aux intervalles sur le cercle, qui étendent le résultat de Beck des bornes absolues pour les translations sur le tore relativement aux boîtes droites vers des cas plus généraux. En nous appuyant sur l'étude des discrépances, nous donnons des exemples de marches aléatoires ergodiques sur R² guidés par les retours dans une boîte d'une translation irrationnelle sur le tore.