Inégalités fonctionnelles, Transport de mesures, Processus stochastiques, Application de transport, Inégalités de Sobolev logarithmiques, Inégalités de Sobolev logarithmiques modifiées, Transport optimal entropique

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux interactions de trois sujets : les processus stochastiques, le transport optimal et les inégalités fonctionnelles. Le manuscrit comporte deux parties : la première est consacrée aux notions préliminaires concernant les contributions originales de la thèse et la deuxième présente ces contributions. La première partie est divisée en deux chapitres. Dans le premier chapitre, nous commençons par une introduction aux fondamentaux de la théorie du transport optimal, en mettant l'accent sur le cas quadratique euclidien, la structure de ses solutions et leur régularité. Dans le deuxième chapitre, nous offrons un panorama de la théorie des inégalités fonctionnelles en commençant par les inégalités géométriques et leurs versions fonctionnelles. Nous nous intéresserons notamment aux inégalités isopérimétriques et au phénomène de concentration de la mesure qui occupent une place centrale dans la théorie. Finalement, nous étudierons différentes familles d'inégalités fonctionnelles qui entraînent la concentration de la mesure : les inégalités de Poincaré, de Sobolev logarithmiques, de Sobolev logarithmiques modifiées et de transport-entropie. La deuxième partie, constituée des quatre derniers chapitres du manuscrit, présente les contributions originales de la thèse. Dans le troisième chapitre, nous montrons que pour toute variété riemannienne à poids et à courbure contrôlée aux premier et deuxième ordres dans le sens de Bakry-Émery, l'application de Kim-Milman envoyant la mesure de poids sur toute perturbation log-Lipschitz est alors lipschtizienne ; ce résultat permet le transfert d'inégalités fonctionnelles. Dans le quatrième chapitre, nous construisons une application de transport entre le processus de Poisson ponctuel et des mesures ultra-log-concaves sur les entiers naturels et nous montrons qu'elle est contractante. Cette approche permet de surmonter les difficultés qui entravent le transfert d'inégalités fonctionnelles dans le cadre discret en utilisant des applications de transport. En conséquence, nous obtenons de nouvelles inégalités fonctionnelles pour des mesures ultra-log-concaves. En particulier, notre approche permet d'améliorer la constante connue pour l'inégalité de Sobolev logarithmique modifiée pour les mesures ultra-log-concaves. Dans le cinquième chapitre, nous exhibons une preuve alternative de l'inégalité de Sobolev logarithmique modifiée de Wu pour la mesure de Poisson via une formulation variationnelle de l'entropie. Cette technique nous permet de caractériser les cas d'égalité et de montrer un résultat de stabilité quantitative pour l'inégalité sous des hypothèses de convexité. Dans le sixième et dernier chapitre, dans le contexte de la régularisation entropique du transport optimal, nous exhibons une borne pour le taux de la convergence uniforme sur des ensembles compacts pour les potentiels entropiques et leurs gradients vers le potentiel de Brenier et son gradient, respectivement. Ces résultats sont valides dans le cadre quadratique euclidien, pour des mesures absolument continues sous des hypothèses de convexité.