Volatilité Stochastique, Hjm, Marchés de l'Énergie, Trading Optimal, Impact de Marché, Contraintes, Conditions d'Optimalité KKT, Modèle du Propagateur, Signaux de Trading, Équation de Fredholm Stochastique

Motivée par les pics de prix extrêmes observés sur les marchés des matières premières dus à des déséquilibres entre l'offre et la demande ou à des événements géopolitiques, ainsi que par le rôle des contrats à terme dans la couverture des risques, cette thèse explore tout d'abord la modélisation de la volatilité à travers les questions fondamentales suivantes : existe-t-il un lien entre volatilité rugueuse et sauts ? Peut-on concilier les calibrations historiques et implicites, y compris pour les contrats à terme aux périodes de livraison chevauchantes ? Pour établir un lien entre volatilité rugueuse et sauts, nous introduisons le modèle d'Heston réversionnaire, un modèle proxy du modèle d'Heston rugueux, caractérisé par une forte réversion à la moyenne et une vol-of-vol élevée, servant de proxy à court terme pour la diffusion rugueuse tout en convergeant asymptotiquement vers des modèles affines avec sauts. De plus, nous modélisons les prix à terme à l'aide d'un cadre HJM avec des facteurs de risque parcimonieux de niveau, pente et courbure, intégrant une volatilité stochastique à la lifted Heston. Une méthodologie de calibration en trois étapes garantit que le modèle capture à la fois la structure de covariance historique des contrats à terme et leurs sourires de volatilité implicite issus des options. Au-delà de la volatilité, cette thèse s'intéresse également à l'optimisation de la gestion des actifs en présence de contraintes fortes (physiques) et d'impact de marché, en particulier dans le cadre du stockage de matières premières, un levier stratégique clé pour la transition énergétique. Le stockage - et notamment les batteries - est essentiel pour équilibrer l'offre et la demande dans un contexte de production renouvelable intermittente croissante, mais nécessite une gestion rigoureuse pour atténuer l'effet de cannibalisation, où une capacité excessive réduit la rentabilité en raison de l'impact de marché, un phénomène endogène pouvant être non linéaire et intrinsèque aux marchés financiers. Cela soulève alors la question clé suivante : Peut-on développer des outils théoriques et numériques permettant de construire des stratégies de trading optimales plus réalistes, prenant en compte des signaux de marché stochastiques, des contraintes presque sûres et un impact de marché transitoire non linéaire ? Nous formulons et résolvons un problème de trading optimal avec des contraintes fonctionnelles linéaires presque sûres sur le taux de trading et un impact de marché transitoire linéaire via le modèle du propagateur, caractérisant le contrôle optimal en termes d'équation de Fredholm stochastique linéaire avec multiplicateurs de Lagrange satisfaisant les conditions de premier ordre stochastiques de type KKT. Pour résoudre ce problème numériquement, nous introduisons un algorithme stochastique d'Uzawa et l'appliquons aux problèmes d'exécution optimale et de gestion de batteries. Enfin, nous étudions un problème de trading optimal avec un impact de marché transitoire non linéaire avec décroissance multi-échelle, établissant des résultats d'existence et d'unicité et proposant un nouveau schéma itératif pour calculer la stratégie de trading optimale, qui satisfait une équation de Fredholm stochastique non linéaire.