Équation de Hamilton-Jacobi, Solutions de viscosité, Théorie KAM-Faible, Théorie d'Aubry-Mather, Semi-Groupe de Lax-Oleinik, Fonctions génératrices, Sous-Variétés lagrangiennes

Dans cette thèse, nous étudions le comportement asymptotique du semi-groupe de Lax-Oleinik et ses implications sur les solutions de viscosité récurrentes de l'équation de Hamilton-Jacobi. Nous mettons en évidence que ces solutions récurrentes préservent des propriétés analogues à celles des solutions 1-périodiques, appelées solutions KAM faibles. Dans un premier temps, nous analysons l'ensemble non-errant du semi-groupe, que nous le décrivons à l'aide d'une formule de représentation analogue à celle connue pour les solutions KAM faibles. Ensuite, nous construisons un Hamiltonien dont l'équation de Hamilton-Jacobi admet une solution de viscosité récurrente, régulière mais non périodique. Enfin, nous proposons une version récurrente du théorème de Birkhoff multidimensionnel, montrant qu'une sous-variété lagrangienne récurrente, sous une topologie dite à complexité réduite, sous l'action d'un flot hamiltonien de Tonelli, est le graphe de la différentielle d'une solution de viscosité récurrente.