Équations de Navier-Stokes, Viscosité dépendant de la densité, Problème de poche de densité, Problème à frontière libre, Modèle biphasique, Modèle à interface raide, Formulation lagrangienne, Régularité tangentielle, Limite incompressible, Liquide à bulles

La présente thèse porte sur l'analyse mathématique des écoulements de fluides non-miscibles. Dans les modèles que nous considérons, les composants du fluide sont séparés par des surfaces libres, à travers lesquelles la densité du fluide peut être discontinue. En général, les solutions faibles dans l'espace d'énergie sont trop irrégulières pour suivre les discontinuités de la densité, tandis que les solutions fortes ne prennent pas en compte des densités discontinues. Notre objectif est alors de construire des solutions faibles dans une classe de régularité intermédiaire qui prend en compte des densités discontinues, tout en garantissant un champ de vitesses suffisamment régulier pour pouvoir préserver la régularité de la surface de discontinuité de la densité. Les résultats que nous avons obtenus peuvent être divisés en deux parties. Tout d'abord, nous considérons le modèle de Navier-Stokes compressible à viscosité constante ou dépendant de la densité. Dans le premier cas, nous montrons la propagation globale en temps de la régularité tangentielle (ou conormale) de la densité dans l'esprit des travaux de J.-Y. Chemin sur les poches de tourbillons. Dans le second cas, nous supposons que la densité est höldérienne de part et d'autre d'une interface à travers laquelle elle est discontinue. Nous constatons que la structure algébrique des équations, telle qu'établie par D. Hoff dans le cas à viscosité constante, change de manière significative. En particulier, le flux effectif et le tourbillon sont discontinus. Cependant, leurs sauts à travers l'interface de discontinuité décroissent exponentiellement en temps vers zéro. En utilisant un argument de perturbation, nous montrons que la régularité höldérienne par morceaux de la densité initiale est préservée au cours du temps, tout comme la régularité de l'interface de discontinuité. Les modèles étudiés dans les travaux précédents peuvent être utilisés pour décrire l'évolution de deux fluides compressibles pour lesquels les lois de pression et de viscosité sont identiques. La seconde partie de cette thèse est consacrée à l'analyse de deux modèles (biphasiques) qui intégrent une physique plus complexe : le premier décrit l'évolution de deux fluides compressibles non-miscibles ayant des lois de pression et de viscosité différentes, et le second porte sur la dynamique d'un nombre de bulles de gaz non visqueux à surfaces libres évoluant dans un liquide. Notre méthode consiste d'abord à passer en coordonnées lagrangiennes, ce qui fixe les domaines des fluides pour les nouvelles inconnues. Le système résultant est ensuite étudié dans un espace d'énergie, et nous obtenons des résultats locaux en temps. Pour le premier modèle, nous établissons la propagation de la régularité höldérienne par morceaux de la densité totale du mélange. Pour le second modèle, nous montrons qu'il est bien posé sans imposer de forme géométrique particulière aux bulles.