Conjecture de Tate, Conjecture de Beilinson, Endoscopique, Représentation automorphe, Cycles algébriques, Variété de Siegel, Fonctions L, Période de Whittaker, Cohomologie, Représentation intégrale

Cette thèse explore les conjectures de Tate et Beilinson dans le contexte de motifs spécifiques associés aux formes automorphes endoscopiques. Ces formes se manifestent dans la cohomologie du produit d'une variété de Siegel de dimension 3 et d'une courbe modulaire, conformément aux travaux fondamentaux de Lemma dans [2]. L'étude de Lemma se concentre sur les formes automorphes cohomologiques de poids minimal; notre recherche étend cette exploration à des poids plus élevés, dans l'espoir qu'une telle approche apporte des perspectives plus complètes. En abordant ces scénarios de poids plus élevés, divers défis techniques apparaissent. Cependant, nous nous appuyons sur des résultats de soutien, notamment ceux de Moriyama [4], et utilisons des techniques similaires à celles employées dans [1]. Cette thèse vise également à calculer explicitement l'analogue de poids supérieur de la période de de Rham-Whittaker p(\pi \times \sigma) , tel que présenté dans le résultat principal de [2]. Cette période quantifie l'écart entre l'algébricité dans la cohomologie cohérente des formes automorphes \Psi × \Phi et l'algébricité de leurs coefficients de Fourier, spécifiquement en ce qui concerne les coefficients de Borel ou de Whittaker. Ce calcul tirera parti des résultats récents de Loeffler et Rivero [3]. [1] A. Cauchi, F. Lemma, and J. Rodrigues. Algebraic Cycles and Functorial Lifts from G_2 to PGSp(6). Accepted for publication in *Algebra & Number Theory*, 02 2023. [2] F. Lemma. On Higher Regulators of Siegel Threefolds II: The Connection to the Special Value. Compositio Mathematica, 153, 09 2014. [3] D. Loeffler and O. Rivero. Algebraicity of L-values for GSp(4) x GL(2) and GSp(4) x GL(2) x GL(2). The Quarterly Journal of Mathematics, 75(2):391-412, 04 2024. [4] T. Moriyama. L-Functions for GSp(2) x GL(2): Archimedean Theory and Applications. Canad. J. Math., 61(2):395-426, 2009